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杨辉算法

宋杨辉(详见《详解九章算术》)撰。《杨辉算法》为杨辉后期三部算书的总称,其包括《乘除通变本末》三卷(1274),《田亩比类乘除捷法》二卷(1275),《续古摘奇算法》二卷(1275)。对这三部书的编著杨辉说:“学者粗知加减归倍之法,而不知变通之问,遂易代乘代除之术,增续新条,目之曰《乘除通变本末》。及见中山刘先生益撰《议古根源》,演段锁积,有超古入神之妙,其可不为发扬,以俾后学,遂集为《田亩简法》。通前共刊四集,自谓斯愿满矣。一日忽有刘碧涧、丘虚谷携诸家算法奇题及旧刊遗忘之文,求成为集,愿助工板刊行。遂添摭诸家奇题与夫缮本及可以续古法草总为一集,目之曰《续古摘奇算法》”。《乘除通变本末》三卷各有名称:上卷《算法通变本末》专讲乘除;中卷《乘除通变算宝》论加减、求一、九归诸术;下卷《法算取用本末》乃中卷的注释。在《算法通变本末》卷首列“习算纲目”,为我国迄今所见的最早的数学教学计划。在此杨辉主张数学教育要“须责实有”,密切联系实际;在教学方法上应循序渐进,他具体规定了学习内容与日程,认为先学会运算,再钻研算理,他说:“依法求日下两三问,且未要穷理,但要知如何发问,作如何用法,答题如何用乘除。”在学习方法上要精思熟虑,融会贯通,抓住重点。他说:“治分乃用算之喉襟也,如不学则不足以知算。”“须讨论用法之源,庶久而无忘矣。”在学习过程中他强调计算能力的培养:“夫学算者题从法取,法将题验,凡欲明一法,必设一题。”“习算纲目”至今对数学教育仍有一定的意义。《算法通变本末》中杨辉还提到几个级数求和问题,有三角垛两问,四隅垛一问,其公式与《详解九章算法》卷六之公式相同。在《乘除通变算宝》中杨辉系统叙述了唐宋相传的“加法”、“减法”与求一代乘除说。他给出了加法代乘的“加法五术”、“加一位”,乘数十位是1的用之;而乘数百位、十位都是1的用“加二位”;乘数可分为两个十位为1的因数可用“重加”;若乘数百位为1、十位为0者用“隔位加”;乘数十位为2或百位为2的用“连身加”。还有“减法四术”,即减法代除:减一位,减二位,重减,隔位减。若乘除首位不是1时,可加倍或折半,使首位变成1后再行计算,这就是“求一乘”,“求一除”,其歌诀为:“五六七八九,倍之数不走,二三须当半,遇四两折扭。倍折本从法,实即反其有,用加以代乘,斯数足可守。”对于不同位数的乘数、被乘数,杨辉总结出不同的计算方法共六种:单因、重因、身前因、相乘、重乘、损乘,这些捷法的要点在于化多位数相乘为一位数连乘,化乘法为加减法,籍以提高计算效率。对于除法简便运算,杨辉叙述了“九归捷法”,在当时流行的四句“古括”的基础上,他添注三十二句新口诀,将九归歌诀精简为三类。在此基础上逐步发展成为珠算中的归除法。《田亩比类乘除捷法》上卷为《详解九章算法》方田章的继续,但所据各田的比类并无重复,不为《九章》框框所限,举例更加切合实际;下卷主要是对《五曹算经》的批评,认为该书中有些题目法草公式不合,题问概念不清,“方五斜七”施诸田亩有失精确等,首开对前辈算家的批判之风,后明代王文素、程大位等算家亦行效仿。在《田亩比类乘除捷法》中杨辉还引用刘益《议古根源》中的不少问题,计有直田十问,方田圆田一问,重修议古截田八问,钱田三问;同时还引用他所掌握的台州、黄岩围量田之实例,保存了宋代的数学史料。《续古摘奇算法》卷上论纵横图,古法有“九宫”,唐后称“洛书”,杨辉始创“纵横图”,即幻方。卷上作纵横图十三幅,其中有:洛书数,花十六图,花十六阴图,五五图,五五阴图,六六图,六六阴图,衍数图,衍数阴图,易数图,易数阴图,九九图,百子图。此外还录有聚五图,聚六图,联八图,攒九图,八阵图,连环图,为纵横图衍化发展而得。杨辉还略述了某些纵横图的构造方法,如洛书造法,四四阴图的易换术等,发现并概括了纵横图的构成规律,是幻方史研究的珍贵资料。该书卷下说《海岛》,有一定价值。《续古摘奇算法》乃杨辉编辑成书,非精心自著,故内容芜杂。体例不一,卷上将六十甲子纳音的计算作为数学而收入,显得不伦不类,《杨辉算法》对后世颇有影响,并流传到日本、朝鲜。其价值在于总结发展了唐宋间的各类捷算法,提供了数学教育的史料,保存了一批宋朝数学史料。《杨辉算法》版本有明洪武十一年(1378)古杭勤德书堂刊本,现存北京图书馆的是朝鲜李朝世宗十五年(1433)的复刻洪武本;1842年《宜稼堂丛书》本;1936-1939年商务印书馆《丛书集成初编》本。

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